शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग ३.

चौरसाचे वर्तुल. चतुरस्रं मण्डलं चिकीर्षन्नक्ष्णयार्धं मध्यात्प्राचीमभ्यापातयेत्। यदतिशिष्यते तस्य सह तृतीयेन मण्डलं परिलिखेत्। बौधायन २.९ सरळ अर्थ - चौरसामधून वर्तुल करू इच्छिणार्‍याने (चौरसाच्या) कर्णाचा अर्धा भाग मध्यापासून (फिरवून) ’प्राची’ रेषेवर आणावा. त्याचा जो भाग (चौरसाच्या) बाहेर पडतो त्याच्या तिसर्‍या भागासह (कर्णाचा अर्धा भाग) घेऊन वर्तुल काढावे. (ते इष्ट वर्तुल आहे.)

टिप्पणी - शेजारच्या आकृतीमध्ये अबकड हा दिलेला चौरस आहे. अम हा त्याच्या कर्णाचा अर्धा भाग ’म’ बिंदूभोवती फिरवून उभ्या ’प्राची’ म्हणजे पूर्वपश्चिम रेषेवर मइ असा आणावा. तो आता अब ह्या बाजूस ’प’ येथे छेद देतो. पइ ह्या खंडावर ’फ’ बिंदु असा शोधावा की पफ = १/३ पइ. मफ ही त्रिज्या धरून काडलेले वर्तुल हे इष्ट वर्तुल आहे. अन्य सूत्रांप्रमाणे येथेहि ही पद्धति कशी शोधली ह्याबद्दल काहीच मार्गदर्शन नाही, तरीहि आपण त्याचा तर्काने शोध लावू शकतो. मूळ चौरसाची बाजू २ प्रमाणक मानल्यास अर्धा कर्ण अम= वर्गमूळ २ हे उघड आहे. म हा मध्य मानून अ, ब, क आणि ड बिंदूमधून जाणारे अम ह्या त्रिज्येचे वर्तुल चौरसाहून मोठे असेल. म हा मध्य मानून आणि मप त्रिज्या मानून काढलेल्या वर्तुलाच्या अब, बक, कड आणि डअ ह्या स्पर्शरेषा असतील आणि ते वर्तुल चौरसाहून छोटे असेल. म्ह्णजेच इष्ट वर्तुलाची त्रिज्या मप आणि अम = इम ह्यांच्या मधोमध कोठेतरी पडेल. असे दिसते की शुल्बकारांनी पइ ह्या खंडाचे वेगवेगळ्या भाजकांनी भाग पाडून सर्वात चांगला अंदाज भाजक = ३ ह्यामुळे मिळतो असे मानलेले दिसते. त्यांच्या कार्यापुरता त्यांना तो पुरेसा सूक्ष्म वाटला असला पाहिजे. आपल्याला आज माहीत असलेले ’वर्तुलाचे क्षेत्र / त्रिज्या वर्ग = π’ हे समीकरण वापरून वर दाखविलेल्या मार्गाने ’π’ चे मूल्य ३.०८८०८ इतके निघते. ते वस्तुत: ३.१४१५९ च्या जवळपास आहे. एक्सेलमध्ये ’फइ’साठी वेगवेगळे भाजक वापरून हेच गणित सोडविण्याचा प्रयत्न करून पाहता येतो. जर २०० भाग केले तर सर्वात चांगले उत्तर ६१व्या आणि ६२व्या भागांच्या मध्ये पडते. ६१ भाग घेतले तर वर्तुलाचे क्षेत्र इष्ट क्षेत्राच्या (= ४) तुलनेने −०.०१४५१ ने लहान पडते आणि ६२ भाग घेतले तर ते ०.०००१६२ ने मोठे पडते. १०० भाग केले तर इष्ट उत्तर ३०वा भाग आणि ३१वा भाग ह्यांमध्ये पडते. ५० भाग केले तर १५व्या आणि १६व्या भागामध्ये पडते. ३० भाग केले तर उत्तर ९व्या आणि १०व्या भागाच्या मध्ये पडते म्हणून ’पइ’ चे ३ भाग पाडून त्याचा तिसरा भाग त्रिज्येकडे जोडावा असे शुल्बकारांनी ठरविलेले दिसते. वर्तुलाचा चौरस. मण्डलं चतुरस्रं चिकीर्षन्विष्कम्भमष्टौ भागान्कृत्वा भागमेकोनत्रिंशधा विभज्याष्टाविंशतिभागानुद्धरेत्। भागस्य च षष्ठमष्टमभागोनम्। बौधायन २.१० सरळ अर्थ - वर्तुलाचा चौरस करू इच्छिणार्‍याने व्यासाचे आठ भाग करून (सात ठेवावेत). उरलेल्या एकाचे २९ भाग करून त्यांपैकी अठ्ठावीस काढून टाकावेत आणि एकोणतिसाव्याचे सहा भाग करून त्यातील एकाला, त्याचा आठवा भाग वगळून, काढून टाकावे. (हे चौरसाच्या बाजूचे मान होय.) टिप्पणी - वरील वर्णनानुसार वर्तुलाचा व्यास ’अ’ एकक इतका मानला तर चौरसाची बाजू = अ[१ − १/८ + १/(८×२९) − १/(८×२९×६) + १/(८×२९×६×८)] इतकी येते. हे सूत्र म्हणजे ह्यापूर्वीच्या सूत्राचा व्यत्यासच आहे. सोप्या समजुतीसाठी वरील आकृतीतील चौरस हा इष्ट चौरस होण्यासाठी मप ही लांबी १२ अंगुलि = ४०८ यव असे मानावे. १ अंगुलि = ३४ यवाचे दाणे हे कोष्टक भाग २ मध्ये दिले आहे. असे मानल्यास मइ = ५७७ यव, पइ = १६९ यव आणि पफ = ५६ १/३ यव असे दिसते. म्हणून मफ = ४६४ १/३ यव. ह्याचा अर्थ असा की ज्या चौरसाची अर्धी बाजू ४०८ यव इतकी आहे, त्या चौरसाच्या बरोबरीचे क्षेत्रफल असणार्‍या वर्तुलाची त्रिज्या ४६४ १/३ यव इतकी असते किंवा, उलटीकडून पाहिल्यास, ज्या वर्तुलाची त्रिज्या ४६४ १/३ यव इतकी असते त्या वर्तुलाला समक्षेत्र असलेल्या चौरसाच्या अर्ध्या बाजूचे मान ४०८ यव इतके असते. आता प्रश्न उरला तो म्हणजे ४६४ १/३ यव इतक्या लांबीचे तुकडे पाडत आणि ते मूळ लांबीमधून कमी करत वा वाढवत ४०८ यव ह्या मानापर्यंत कसे पोहोचायचे. त्यासाठी प्रथम दोन्ही मानांची तिप्पट करावी, जेणेकरून त्यातील गैरसोयीचा अपूर्णांक निघून जाईल. आता आपणास १३९३ पासून १२२४ पर्यंत पोहोचायचे आहे. १३९३ × १/८ = १७४ १/८ आणि १३९३ × ७/८ = १२१८ ७/८, तसेच १२२४ – १२१८ ७/८ = ५ १/८ . आता १७४ १/८ मधील १/८ कडे दुर्लक्ष करावे. १७४ ÷ २९ = ६ = ५+१. म्हणजेच १२७४ = १३९३[१ − १/८ + १/(८×२९) − १/(८×२९×६) + १/(८×२९×६×८)]. हे समीकरण वर्तुलाची त्रिज्या आणि चौरसाची अर्धी बाजू ह्यांच्यामधील आहे. दोन्हीची दुप्पट केली म्हणजे दिसते की वर्तुलाचा व्यास आणि चौरसाची बाजू ह्यांच्यामध्ये हेच समीकरण आहे.